Étudier les variations d'une fonction à l'aide de sa dérivée

Étudier les variations d'une fonction

Objectif

Déterminer les intervalles sur lesquels une fonction est croissante ou décroissante, puis identifier ses éventuels extrema.

1. Le principe mathématique

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

Le signe de sa dérivée f' permet d'étudier ses variations :

Si f'(x)>0 sur un intervalle, alors f est strictement croissante sur cet intervalle.
Si f'(x)<0 sur un intervalle, alors f est strictement décroissante sur cet intervalle.
Si f'(x)=0 sur tout un intervalle, alors f est constante sur cet intervalle.

Attention : une dérivée nulle en un point ne signifie pas nécessairement que la fonction possède un extremum en ce point.

2. Méthode générale

Pour étudier les variations d'une fonction :

Étape 1 — Déterminer son domaine de définition.

Identifier les valeurs de x pour lesquelles la fonction existe.

Étape 2 — Calculer sa dérivée.

Déterminer l'expression de f'(x).

Étape 3 — Étudier le signe de la dérivée.

Résoudre :

f'(x)=0

Puis déterminer le signe de f'(x) sur les intervalles obtenus.

Étape 4 — En déduire les variations.

Construire le tableau de variations de f.

Étape 5 — Rechercher les extrema.

Calculer les valeurs de la fonction aux points où sa dérivée change de signe.

3. Exemple d'application

Étudions les variations de la fonction :

f(x)=x^3-3x^2-9x+5

définie sur \mathbb{R}.

Étape 1 — Domaine de définition

f est une fonction polynôme. Elle est donc définie et dérivable sur \mathbb{R}.

Étape 2 — Calcul de la dérivée

f'(x)=3x^2-6x-9

Factorisons :

f'(x)=3(x^2-2x-3)

D'où :

\boxed{f'(x)=3(x+1)(x-3)}

Étape 3 — Étude du signe

La dérivée s'annule lorsque :

3(x+1)(x-3)=0

Ainsi :

x=-1\quad\text{ou}\quad x=3

Étudions le signe du produit :

Intervalle	]-\infty;-1[	]-1;3[	]3;+\infty[
Signe de f'(x)	+	-	+
Variation de f	Croissante	Décroissante	Croissante

Étape 4 — Calcul des extrema

Pour x=-1 :

f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)+5

\boxed{f(-1)=10}

Pour x=3 :

f(3)=3^3-3(3)^2-9(3)+5

\boxed{f(3)=-22}

Conclusion :

La fonction f est :

strictement croissante sur ]-\infty;-1] ;
strictement décroissante sur [-1;3] ;
strictement croissante sur [3;+\infty[.

Elle admet un maximum local égal à 10 en x=-1 et un minimum local égal à -22 en x=3.

Ces extrema sont locaux : la fonction n'admet ni maximum global ni minimum global sur \mathbb{R}.

4. Point de vigilance

Il ne suffit pas de résoudre f'(x)=0 pour conclure à l'existence d'un extremum.

Considérons :

g(x)=x^3

Sa dérivée est :

g'(x)=3x^2

On a bien :

g'(0)=0

Pourtant, g'(x)\geq0 pour tout réel x, et la fonction g reste strictement croissante sur \mathbb{R}.

La dérivée s'annule en 0, mais la fonction n'y possède aucun extremum.

5. À retenir

Pour étudier les variations d'une fonction dérivable :

\boxed{\text{Calculer }f'\ \longrightarrow\ \text{Étudier son signe}\ \longrightarrow\ \text{Déduire les variations}}

Un changement de signe de f' de + vers - indique un maximum local.

Un changement de signe de f' de - vers + indique un minimum local.